26591
26591. Marian Andronache, București Fie un număr natural. Să se determine endomorfismele grupului alternativ, știind că nu există nicio permutare astfel încât permutările și să aibă același ordin într-un grup.
Soluție Un endomorfism al unui grup este o funcție care respectă structura grupului, adică:
Grupul alternativ este format din permutările pare ale mulțimii . Numărul elementelor sale este . Ordinea unei permutări este cel mai mic pentru care, unde este elementul neutru (permutarea identitate).
Condiția din enunț afirmă că pentru orice permutare, cu, ordinea lui este diferită de ordinea lui . Acest lucru implică faptul că nu poate fi identitatea, deoarece ar face ca ordinea lui să fie identică cu cea a lui .
Dacă, grupul este simplu, adică nu are subgrupuri normale proprii. Aceasta implică că singurele endomorfisme ale grupului sunt cele triviale:
Acest endomorfism respectă condiția din enunț, deoarece ordinea tuturor elementelor este redusă la 1 (ordinea lui ).
Pentru sau, grupul nu mai este simplu. Vom analiza aceste cazuri separat:
Pentru, este izomorf cu grupul ciclic, iar endomorfismele posibile sunt fie identitatea, fie aplicația trivială. Totuși, aplicația identitate nu respectă condiția din enunț, deci singurul endomorfism valid este cel trivial.
Pentru, are un subgrup normal izomorf cu . Vom verifica explicit posibilele endomorfisme care respectă condiția dată. De exemplu, endomorfismul trivial satisface și acest caz.
Exemplu pentru : Presupunem că nu este trivial. Subgrupul normal din din ar trebui să fie mapat într-un subgrup similar. Dacă nu este trivial, atunci fie are imagine parțial trivială, ceea ce contrazice condiția dată. De aceea concluzia încă nu este modificată.
This article "26591" is from Wikipedia. The list of its authors can be seen in its historical and/or the page Edithistory:26591. Articles copied from Draft Namespace on Wikipedia could be seen on the Draft Namespace of Wikipedia and not main one.
